之前我们已经知道欧拉函数 $\varphi(n)$ 的计算公式：
\displaystyle \varphi (n)=n \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i})
我们还知道它的两条性质：
如果$\varphi(x)$中的x是质数 p 的 k 次幂，那么 $\displaystyle \varphi (x)=\varphi (p^k)=(p-1)p^{k-1}$ ；
欧拉函数是积性函数，如果 x 和 y 互质，则 $\varphi(xy)=\varphi(x) \varphi(y)=(x-1)(y-1)$ 。
今天我们要证明上述性质，再介绍几条新的性质。
C++里有普通的 32 位整数类型 int 和 64 位整数类型 long long，但是如果我们要存一个128位的整数，前两个似乎就无能为力了。这时候我们就要用到 __int128这种类型了。
很伤心，为什么NOIP不能用 C++11……
CodeForces 510D Fox And Jumping：510D
0/1 分数规划是一种常见的模型：给你 n 个价值 $a_i$ 与 n 个代价 $b_i$，让你选出 m 个数字，使得 $ \sum \frac {a_i} {b_i} $ 最大。显然这种题目可以用二分，但是有一种更优秀的方法：Dinkelbach 迭代法。
做CF上的英文题真是不容易……
题目链接
CodeForces 555B：Case of Fugitive
这题是XJOI上看到的……不过HDU上也有：折线分割平面
洛谷链接：P1577 切绳子
看到我写这么简单的题的题解不要奇怪，因为这题很坑……XJ一大堆dalao都已经被坑害了……
当我们取模的时候，被模数很大，无法直接计算其值，我们就会用取模运算的下面两个性质：
$$
(a+b) \bmod x=((a \bmod x)+(b \bmod x))\bmod x \
(a\ast b) \bmod x=((a \bmod x)\ast (b \bmod x))\bmod x
$$
那么对于除法，是否也满足这个式子呢？
$$(a \div b) \bmod x=((a \bmod x)\div (b \bmod x))\bmod x$$
在数论中，对正整数 n，欧拉函数 $\varphi (n)$ 是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为 φ 函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数（totient function，由西尔维斯特所命名）。（来自维基百科）
欧几里德算法（Euclidean algorithm）又叫做辗转相除法，用于求最大公约数。这个算法已经十分常见了。扩展欧几里德算法（Extended Euclidean algorithm）是欧几里德算法的扩展（废话……），这个算法在解不定方程的时候十分常见。