欧拉函数 φ(n) 的几个常用性质

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之前我们已经知道欧拉函数 \varphi(n) 的计算公式:

\displaystyle \varphi (n)=n \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i})

我们还知道它的两条性质:
如果\varphi(x)中的x是质数 p 的 k 次幂,那么 \displaystyle \varphi (x)=\varphi (p^k)=(p-1)p^{k-1}
欧拉函数是积性函数,如果 x 和 y 互质,则 \varphi(xy)=\varphi(x) \varphi(y)=(x-1)(y-1)

今天我们要证明上述性质,再介绍几条新的性质。

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本文中 (a,b) 或者 gcd(a,b) 表示a、b的最大公因数。

本文隶属⌈ 数论学习系列 ⌋。
本文是 欧拉函数、费马小定理与欧拉定理详解 一文的补充。建议先阅读后者。

当 x 为质数 p 的 k 次幂时

\varphi(x) 中的 x 是质数 p 的 k 次幂时:

\displaystyle \varphi (x)=\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}

证明:小于等于 p^k 的正整数个数为 p^k 个,
其中和 p 不互质的正整数有:1 \ast p, 2 \ast p, \dots ,r \ast p
显然可以得到:r=\frac {p^k} {p}-1 = p^{k-1}。剩下的就是与 p 互质的。
那么就得到了:\varphi (n)=p^k-p^{k-1}

欧拉函数是积性函数

\displaystyle \varphi(nm)=\varphi (n) \ast \varphi (m),(n,m)=1

证明:要证明这个公式,我们可以画张表:

\displaystyle
\begin{matrix}
1 & 2 & \cdots & r & \cdots & m \\
m+1 & m+2 & \cdots & m+r & \cdots & 2m \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
(n-t)m+1 & (n-t)m+2 & \cdots & (n-t)m+r & \cdots & (n-t+1)m \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
(n-1)m+1 & (n-1)m+2 & \cdots & (n-1)m+r & \cdots & nm \\
\end{matrix}

在这张表里,每行都是一个模 n 的完全剩余系,其中有 \varphi(n) 个与 n 互质的数字;每列都是一个模 m 的完全剩余系,其中有 \varphi (m) 个与 m 互质的数字。一个数字要和 nm 互质,那么它就要和 n 互质又和 m 互质。那么一共就有 \varphi(n)\varphi(m) 个与 nm 互质的数字,也就是说 \varphi (nm)=\varphi(n)\varphi(m)

当 n 为奇数时

当 n 为奇数时,\varphi (2 \ast n)=\varphi (n)

证明:很显然,\varphi(2\ast n)=\varphi(2) \ast \varphi(n)=\varphi(n)

p 整除 n/p 时

\varphi(n)=\varphi(n/p)\ast p \text{,当 }p|(n/p) 。

证明:因为 p|(n/p) ,所以 n 和 n/p 有相同的质因子,即 r_1=r_2 并且 \forall p_i=p_j 。于是:

\displaystyle
\varphi (n/p)=n/p \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i}) \\
\varphi (n)=n \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i})= p \ast n/p \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i}) = p\ast \varphi(n/p)

φ(n)=φ(n/p)*(p-1)

(p,n/p)=1,并且 p 是质数时。

\varphi(n)=\varphi(n/p)\ast(p-1)

证明:因为 p 是质数,所以 \varphi(p)=p-1 。则:

\varphi(n/p)\ast(p-1) = \varphi(n/p)\ast \varphi(p) =\varphi(n)

n 的所有因子欧拉函数之和为 n

\displaystyle \sum_{d|n} \varphi(d)=n

证明:\displaystyle f(n) = \sum_{d|n} \varphi(d),并且 (n,m)=1,则有:

\displaystyle f(nm)=\sum_{d|nm} \varphi(d)=(\sum_{d|n}\varphi(d))\ast(\sum_{d|m}\varphi(d)) = f(n)\ast f(m)

所以 f(n) 是积性函数。

\displaystyle f(p^m)=\sum_{d|p^m} \varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\dots+\varphi(p^m)=1+(p-1)+(p^2-p)+\dots+(p^m-p^{m-1})=p^m

因此我们可以将 n 进行标准分解,可以得到:

\displaystyle f(n)=\prod_{i=1}^{m} f(p_i^{c_i})=\prod_{i=1}^{m} p_i^{c_i}=n \text{,即 } \displaystyle \sum_{d|n} \varphi(d)=n

参考

欧拉函数公式及其证明_百度文库
欧拉函数 | GoAway's Blog


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