在之前我们学过的最朴素的筛法就是埃氏筛法（埃拉托斯特尼筛法），它的复杂度是 $\Theta (N \log_2(N))$。其实这个朴素的筛法可以进行常数上的优化。还有一种更炫酷的筛法：欧拉筛，即线性筛法，时间复杂度为 $\Theta (N)$。

在之前我们已经知道乘法逆元的三种求法，对于一般的题目让你把答案模一个质数，如果要求逆元一般用费马小定理，可以在 $\Theta (Nlog_2(N))$ 时间内构造出 1 到 N 的逆元：$inv(x)=x^{mo-2} \bmod mo$。但是对于 $10^7$ 级别的 $N$，这样的求法就显得有点慢。能不能在 $\Theta (N)$ 时间内递推出 $inv(x)$ 呢？

先看这道丧心病狂的题目：HDU 4135 Co-prime。题目大意就是，有 $T$ 组询问，每组询问给你三个数：$a, b, c$，问你闭区间 $[a,b]$ 中有多少个数字与 $n$ 互质。数据范围是：$1 \leqslant A \leqslant B \leqslant 10^{15}$，$1 \leqslant N \leqslant 10^5$。

乍一看毫无头绪，仿佛怎么做都会超时……其实用容斥的想法就很容易了～

题目链接：UVa 1599 Ideal Path 或者 POJ 3967 Ideal Path

POJ 上居然不能用 vector ！！！强烈不满！

题目链接：CodeForces 274D Lovely Matrix
今天看CF官方题解的时候学来一句话，暴力解法称为 “The naïve solution” :joy:

如果告诉你在一个三角形中，$B-A \leqslant c, C-B \leqslant a, C-A \leqslant b$，怎么求 $C-A$ 的最大值呢？通过yy观察可以发现，$C-A$ 的最大值是 $min(a+c,b)$。这个答案如何得出？将这个三角形内的约束条件推广到更多约束条件呢？

在一幅无向图中，如果删除了一个点，导致图分成了两个或多个联通块（强连通分量），那么这个点就是割点。怎么求这样的点呢？最原始暴力的方法就是每次枚举一个点，删除，跑一遍最短路。今天我们可以用更高级的 Tarjan 算法 $ \displaystyle \Theta (N)$ 求解。

题目链接：ZOJ 3649 Social Net

题目链接：CodeForces 294E Shaass the Great
这题真的太麻烦了……

Kruscal 算法是求最小生成树的基础算法，很容易求得最小生成树，但是怎么利用这个算法求非严格次小生成树与严格次小生成树呢？